Résolutions d'équations trigonométriques (1) - Corrigé

Énoncé

Résoudre les équations suivantes dans `\mathbb{R}` , puis dans l'intervalle `[-\pi \ ; \pi]` .

1. `\cos(x)=\frac{1}{2}`

2. `\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}`

3. `\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}`

4. `\sin(x)=-\frac{1}{2}`

5. `\cos(x)=0`

6.  `\sin(x)=0`

Solution

1.  \(\begin{align*}\cos(x) = \frac{1}{2} & \ \ \Longleftrightarrow \ \cos(x)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{3}+k \times 2\pi \text{ ou } x=-\frac{\pi}{3}+k \times 2\pi\end{align*}\)
et donc \(S_{\mathbb{R}}= \left\lbrace \dfrac{\pi}{3}+2k\pi \ \vert k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\cup \left\lbrace -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Dans \([-\pi \ ; \pi]\) , les solutions de cette équation sont : \(S_{[-\pi ; \pi]} = \left\lbrace -\dfrac{\pi}{3} \ ; \dfrac{\pi}{3} \right\rbrace\) .

2. On a :
\(\begin{align*}\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \cos(x)=\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{3\pi}{4}+k \times 2\pi \text{ ou } x=-\frac{3\pi}{4}+k \times 2\pi\end{align*}\)
et donc \(S_{\mathbb{R}}= \left\lbrace \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\cup \left\lbrace -\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Dans \([-\pi \ ; \pi]\) , les solutions de cette équation sont : \(S_{[-\pi ; \pi]} = \left\lbrace -\dfrac{3\pi}{4} \ ; \dfrac{3\pi}{4} \right\rbrace\) .

3. On a :
\(\begin{align*}\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \sin(x)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{3}+k \times 2\pi \text{ ou } x=\pi-\frac{\pi}{3}+k \times 2\pi \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{3}+k \times 2\pi \text{ ou } x=\frac{2\pi}{3}+k \times 2\pi\end{align*}\)
et donc \(S_{\mathbb{R}}= \left\lbrace \dfrac{\pi}{3}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\cup \left\lbrace \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Dans \([-\pi \ ; \pi]\) , les solutions de cette équation sont : \(S_{[-\pi ; \pi]} = \left\lbrace \dfrac{\pi}{3} \ ; \dfrac{2\pi}{3} \right\rbrace\) .

4.  On a : 
\(\begin{align*}\sin(x)=-\frac{1}{2}& \ \ \Longleftrightarrow \ \sin(x)=\sin\left(\frac{-\pi}{6}\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{-\pi}{6}+k \times 2\pi \text{ ou } x=\pi-\frac{-\pi}{6}+k \times 2\pi\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{-\pi}{6}+k \times 2\pi \text{ ou } x=\frac{7\pi}{6}+k \times 2\pi\end{align*}\)
et donc \(S_{\mathbb{R}}= \left\lbrace \dfrac{-\pi}{6}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\cup \left\lbrace \dfrac{7\pi}{6}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Dans \([-\pi \ ; \pi]\) , les solutions de cette équation sont : \(S_{[-\pi ; \pi]} = \left\lbrace -\dfrac{5\pi}{6} \ ; -\dfrac{\pi}{6} \right\rbrace\) .

5. On a :
\(\begin{align*}\cos(x)=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \cos(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=\frac{\pi}{2}+k \times 2\pi \text{ ou } x=-\frac{\pi}{2}+k \times 2\pi\end{align*}\)
et donc \(S_{\mathbb{R}}= \left\lbrace \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\cup \left\lbrace -\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Dans \([-\pi \ ; \pi]\) , les solutions de cette équation sont : \(S_{[-\pi ; \pi]} = \left\lbrace -\dfrac{\pi}{2} \ ; \dfrac{\pi}{2} \right\rbrace\) .

6.  On a :
\(\begin{align*}\sin(x)=0& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \sin(x)=\sin\left(0\right)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=0+k \times 2\pi \text{ ou } x=\pi-0+k \times 2\pi\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{il existe } k \in \mathbb{Z} \text{ tel que } x=k \times 2\pi \text{ ou } x=\pi+k \times 2\pi\end{align*}\)
et donc  \(S_{\mathbb{R}}= \left\lbrace 2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\cup \left\lbrace \pi+2k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\)  ou plus simplement : \(S_{\mathbb{R}}= \left\lbrace k\pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Dans \([-\pi \ ; \pi]\) , les solutions de cette équation sont : \(S_{[-\pi ; \pi]} = \left\lbrace -\pi \ ; 0 \ ; \pi \right\rbrace\) .